Vector (Magnitud Vectorial)
Un vector es una entidad matemática que tiene tanto magnitud (longitud o intensidad) como dirección y sentido en el espacio.
Nomenclatura: Se representa con una letra y una flecha superior (ej. \(\vec{F}\)) o en negrita (ej. \(\mathbf{F}\)). En 3D, se escribe mediante sus componentes cartesianas: \(\vec{v} = [v_x, v_y, v_z]^T\), donde \(T\) significa transposición (es un vector columna).
En la mandíbula: Cada fuerza muscular se modela como un vector \(\vec{F}_i\). Además, la posición de los dientes (mordida) y las articulaciones (cóndilos ATM) se expresan mediante vectores de posición \(\vec{r}_i\) medidos en milímetros desde el origen (el cóndilo izquierdo en nuestra simplificación).
Vector Unitario (Dirección Unitaria)
Un vector unitario es un vector cuya magnitud es exactamente igual a 1. Su único propósito es indicar una dirección pura en el espacio tridimensional.
Nomenclatura: Se denota típicamente con un acento circunflejo o "sombrero" (ej. \(\hat{u}\)). Se obtiene dividiendo cualquier vector dirección entre su propia norma o longitud: \(\hat{u} = \frac{\vec{d}}{\|\vec{d}\|}\).
En la mandíbula: Nos indica hacia dónde tira cada músculo. Para el músculo temporal, restamos su origen craneal de su inserción mandibular para obtener la distancia \(\vec{d}\), y lo dividimos por su norma para obtener \(\hat{u}_{\text{temp}}\).
Producto Escalar-Vector
Es la operación que multiplica un número simple (escalar \(k\)) por un vector (\(\vec{v}\)). El resultado es un nuevo vector que apunta en la misma dirección pero cuya longitud se ha multiplicado por \(k\):
$$k \cdot \vec{v} = [k \cdot v_x, \; k \cdot v_y, \; k \cdot v_z]^T$$
En la mandíbula: Multiplicamos los Newtons estimados de fuerza del músculo (escalar \(F_i\)) por su vector de dirección unitario (\(\hat{u}_i\)) para obtener la fuerza vectorial tridimensional: \(\vec{F}_i = F_i \cdot \hat{u}_i\).
Torque (Momento de Fuerza)
El torque (\(\vec{\tau}\)) mide la tendencia de una fuerza aplicada a causar la rotación de un cuerpo alrededor de un punto o eje de giro.
Nomenclatura: Se representa con la letra griega tau (\(\vec{\tau}\)). Es el producto cruz entre el vector de posición del punto de aplicación (\(\vec{r}\)) y el vector de la fuerza aplicada (\(\vec{F}\)): \(\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}\). Su unidad es Newtons-milímetro (\(\text{N}\cdot\text{mm}\)) o Newtons-metro (\(\text{N}\cdot\text{m}\)).
En la mandíbula: Cuando los músculos tiran hacia arriba, intentan hacer rotar la mandíbula alrededor de la articulación temporomandibular (ATM), que actúa como eje de bisagra. Esto genera torques rotacionales.
Producto Cruz (Vectorial)
El producto cruz (\(\vec{A} \times \vec{B}\)) toma dos vectores y devuelve un tercer vector que es perpendicular a ambos.
Nomenclatura: Se escribe con el símbolo de aspa \(\times\). Su magnitud depende del ángulo entre los vectores y es igual a \(\|\vec{A}\| \|\vec{B}\| \sin\alpha\). Se calcula como:
$$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{bmatrix} A_y B_z - A_z B_y \\ A_z B_x - A_x B_z \\ A_x B_y - A_y B_x \end{bmatrix}$$
En la mandíbula: Sirve para calcular el torque tridimensional. El torque del músculo temporal es el producto cruz entre el brazo de palanca \(\vec{r}\) y la fuerza vectorial muscular \(\vec{F}\).
Producto Punto (Escalar)
El producto punto (\(\vec{A} \cdot \vec{B}\)) es una operation que multiplica dos vectores y devuelve un número escalar. Mide qué tan alineados están dos vectores.
Nomenclatura: Se escribe con un punto centrado \(\cdot\). Matemáticamente es: \(\vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z\). Si los vectores son perpendiculares, su producto punto es cero.
En la mandíbula: Sirve para proyectar fuerzas tridimensionales en direcciones específicas (por ejemplo, para hallar cuánta fuerza útil de mordida actúa alineada a los dientes).
Ventaja Mecánica (Mechanical Advantage, MA)
La Ventaja Mecánica es el factor por el cual una máquina o sistema biológico amplifica la fuerza de entrada. Es la relación: \(\text{MA} = \frac{\text{Fuerza de Salida}}{\text{Fuerza de Entrada}}\).
Palancas en biomecánica:
- MA > 1: Multiplica la fuerza a costa de menor velocidad o desplazamiento (ej. palanca de 2ª clase).
- MA < 1: Sacrifica fuerza de entrada a cambio de mayor velocidad y rango de movimiento en el extremo (ej. palanca de 3ª clase).
En la mandíbula: Funciona como una palanca de 3ª clase. La fuerza de los músculos temporales y maseteros se aplica más cerca de la articulación (ATM) que de los dientes. Por ello, la ventaja mecánica global es menor a 1 (típicamente entre 0.3 y 0.5), requiriendo esfuerzos de tracción grandes para morder.
Equilibrio Estático y Cálculo Matricial
Para que un sistema esté en reposo (estático), la suma de todas las fuerzas externas y la suma de todos los torques respecto a cualquier punto deben ser nulas:
$$\sum \vec{F} = 0 \quad \text{y} \quad \sum \vec{\tau} = 0$$
Esto da lugar a un sistema de 6 ecuaciones escalares lineales combinadas (3 de fuerzas y 3 de torques) en un espacio 3D.
En la mandíbula: Conocidas las fuerzas de tracción de los músculos activos, resolvemos el sistema matricial para calcular la fuerza de mordida reactiva en el alimento y las fuerzas de reacción condilar resultantes que actúan en la ATM izquierda y derecha para mantener el cráneo en equilibrio estático.